Расчет прочности бетона по опытным данным

Расчет прочности бетона является ответственным этапом при расчете состава бетона и важно правильно учитывать взаимосвязь между составляющими бетон компонентами и итоговой прочностью затвердевшего бетона. Существующие теоретические подходы далеки от точного описания процессов, происходящих на этапе твердения бетона, поэтому часто в качестве рабочих формул используются различные эмпирические соотношения. Эти соотношения справедливы, в основном для того класса компонентов, для которых они были получены – как правило, эмпирические формулы получают на основе экспериментальных данных.

Одним из простых и надежных методов обработки результатов опытных данных является метод наименьших квадратов. И в данной статье мы разберем, как использовать этот метод, чтобы получить расчетную формулу для прочности бетона на постоянных заполнителях. Допустим, что у нас имеется набор опытных данных прочности бетона и цементноводного отношения, заданных следующей таблицей:

Опытные данные прочности бетона и Ц/В

Параметры

№ состава

1

2

3

4

5

6

7

Ц/В

2,5

2,26

2

1,75

1,66

1,43

1,17

Rб, кгс/см2

518

490

380

292

260

180

122

y = Rб/Rц

1,27

1,201

0,931

0,716

0,637

0,441

0,299

Для получения этих данных использовались постоянные портландцемент Rц = 408 кгс/см2 и постоянные заполнители.

Введем обозначения: x = Ц/В, y = Rб/Rц и предположим, что зависимость между y и x – линейная, т.е. уравнение данной зависимости имеет вид:

y = B0 + B1x, (1)

где B0, B1 – некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Суть метода наименьших квадратов сводится к следующему – необходимо найти такие коэффициенты B0, B1, что сумма квадратов разности между y, определенными по формуле (1) в точках xi, взятых из таблицы выше (т.е. xi = 2,5; 2,26; …) и yi (т.е. yi = 1,27; 1,201; …), взятых из таблицы выше, была минимальной:

f(x; B0, B1) = ∑(yi – B0 – B1xi)2 -> min, (2)

Мы явно внесли в функцию f зависимость от B0, B1, поскольку нам эти коэффициенты неизвестны, и мы их ищем. Найдем их из следующих соображений. Мы знаем, что если какая-либо функция имеет минимальное значение в какой-то точке, то производная этой функции в этой точке равна нулю. В случае уравнения (2) это означает выполнение следующих двух равенств:

fB0 = ‑ ∑( yi – B0 – B1xi) = 0

fB1 = ‑ ∑( yi – B0 – B1xi)xi = 0

или

∑( yi – B0 – B1xi) = 0

∑( yi·xi – B0·xi – B1xi·xi) = 0,

перепишем полученные уравнения в более понятной форме:

nB0 + B1∑x = ∑y

B0∑x + B1∑x2 = ∑xy

и теперь уже ясно, что осталось всего лишь выразить из этой системы уравнений коэффициенты B0, B1. Значения для сумм x, x2, xy, y приведены в следующей таблице:

Значения сумм

№ состава

x = Ц/В

y = Rб/Rц

x2

xy

1

2,5

1,27

6,25

3,175

2

2,26

1,201

5,108

2,714

3

2,0

0,931

4,0

1,882

4

1,75

0,716

3,063

1,253

5

1,66

0,637

2,756

1,057

6

1,43

0,441

2,045

0,631

7

1,17

0,299

1,369

0,350

x = 12,77

y = 5,495

x2 = 24,591

xy = 11,042

Используя значения из таблицы, запишем уравнения в виде:

7B0 +12,77B1 = 5,495

12,77B0 + 24,591B1 = 11,042,

откуда находим коэффициенты B0 = -0,649; B1 = 0,785;

Окончательно, уравнение для расчета прочности бетона примет вид:

y = 0,785x‑0,649 = 0,785(x‑0,825),

или, подставив прочность бетона, цемента и цементноводное отношение:

Rб = 0,79·Rц(Ц/В‑0,83).

Таким образом, данную формулу можно использовать в дальнейшем при условии сохранения заполнителей, взятых для получения опытных данных.

Комментарии закрыты.